Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Феномен мислення та мисленнєвої діяльності в психолого-педагогічній літературі
До найважчих і найменш досліджених проблем психології належить вивчення мислення. Що таке мислення і яка його роль в пізнанні, праці, житті цікавило людство з давна. Вже в період античності у філософії виникло розмежування органів почуття (відчуття) і діяльності мислення. З тієї пори проблема мисле ...

Методика формуванням мовних знань та навичок з лексики і граматики на уроках англійської мови
Більша частина лексики на початковому етапі засвоюється учнями з двох сторін: для розуміння при читанні й на слух і для використання у власних усних і письмових висловленнях. Однак, є певний шар лексики, який призначений тільки для рецептивного засвоєння: деякі розгорнуті вираження класного змісту, ...

Форми та методи педагогічної роботи з обдарованими учнями
Одним із важливих напрямків діяльності вчителя в умовах загальноосвітньої школи є його робота з учнями, яким властиві підвищені навчальні можливості. Тому відносно цієї категорії учнів мають бути зроблені акценти такого характеру: а) повне задоволення запитів найбільш підготовлених дітей у поглибле ...