Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Проблемні ситуації, правила і прийоми їх створення
Важливий компонент проблемного навчання — проблемна ситуація, тобто ситуація, для оволодіння якою студент або колектив мають знайти й застосувати нові для себе знання чи способи дій. Проблемні ситуації створюють різними способами. З точки зору педагогічної практики заслуговує на увагу підхід до кла ...

Наукові підходи до визначення поняття мотивація
Одна із самих ранніх теорій мотивації була запропонована грецьким філософом Аристотелем. Аристотель вважав, що мотивація являється результатом функцій «захоплень», яка завжди була пов’язана з якимось результатом або метою. Привести у дію організовану систему для отримання необхідного результату мож ...

Незалежність тиску рідини на дно посудини від її форми
Обладнання: 1. Прилад Паскаля. 2. Підфарбована вода. 3. Кристалізатор. 4. Ящик-підставка. Прилад Паскаля встановлюють на ящик-підставку і вкручують у муфту приладу циліндричну посудину. У посудину наливають підфарбованої води й відмічають стрілкою її рівень. Другою пересувною стрілкою відмічають по ...