Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Навчальний тест
Навчальний тест визначається як система завдань визначеного змісту, зростаючої складності, специфічної форми, що дозволяє якісно й ефективно вимірити рівень і оцінити структуру підготовленості учнів. Навчальний тест по своїй суті є класичним представником традиційних тестів. Для кращого розуміння в ...

Лінгвістичні особливості тексту
Головним завданням шкільного курсу мови є поліпшення мовної підготовки учнів, формування умінь продуктивної та творчої мовної діяльності. Формування мовленнєвих умінь, як і інші практичні навчальні завдання, вимагає міцної теоретичної бази. Нею повинні стати введені до шкільної програми найважливіш ...

Пріоритети виховної роботи в сучасній школі
Сучасний період відродження України, її державності, економіки, освіти, науки та культури вимагає зміни поглядів на освіту, виховний ідеал, виховання особистості. У Національній доктрині розвитку освіти, цілісна виховна система розглядається як один із основних шляхів реформування виховання. Зміни ...