Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Система уроків з використанням комп’ютера в початковій школі
В цьому розділі представлені фрагменти уроків з використанням комп’ютера. Основна ставка зроблена на навчанні образотворчого мистецтва у початковій школі. Подані конспекти уроків в першому класі (нумерація складена за чинною програмою для початкової школи). Передбачено проведення кількох уроків, на ...

Особливості гуманістичного та особистісного методу у навчанні іноземної мови
Особливо важливе значення для виконання актуальних завдань, пов'язаних із формуванням якостей сучасної людини, має гуманістичний підхід. Його назва відбиває трансформацію поглядів сучасного суспільства на визнання унікальності, цінності людини, потреби створення умов для її самореалізації, всебічно ...

Логічна будова шкільного курсу геометрії
Загальноосвітній курс геометрії забезпечує базову геометричну підготовку достатню для продовження освіти в старшій або професійній школі. Виділяються три ступені вивчення геометрії: 1- 4, 5- 6, 7- 9. В 1- 4 класах здійснюється пропедевтична підготовка учнів до вивчення цього курсу. 5- 6 класи. Осно ...