Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Аналіз базових умов навчання. Вибір способів актуалізації базових знань
Суттю базових знань є їх об'ємність. Вони є широкими концепціями в освіті і забезпечують зв'язок з актуальними потребами з погляду індивідів, такими як придбання професійних навиків і довічне навчання Таблиця 5 – Аналіз між темних зв'язків і вибір базового матеріалу Найменування теми, розділу, підр ...

Методика навчання іноземних мов
Для того, щоб навчання іноземних мов у середніх навчальних закладах було ефективним і відповідало сучасним вимогам, майбутній учитель має добре оволодіти теоретичним курсом “Методика навчання іноземної мови”, який повинен посідати провідне місце в системі професійної підготовки фахівця. Методика на ...

Якість та ефективність мультимедійних засобів навчання
Донедавна навчальні програмні продукти, які потрапляли в руки педагогів, піддавалися певним змінам, що давало позитивні результати під час використання. Такі зміни до програм вносили як учителі школи, так і розробники програм після одержання конструктивних пропозицій і порад від користувачів. Сього ...