Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Практичні заняття у виробничому навчанні
Усі робочі операції здійснюються за допомогою трудових дій. Способи виконання трудових дій вироблені суспільно-виробничою практикою і закріплені в знаряддях праці. Тому оволодіти тією або іншою трудовою дією — це означає засвоїти спосіб поводження з тим інструментом (механізмом), за допомогою якого ...

Планування роботи з математики в різновіковій групі
Важливі умови проведення занять різного виду в змішаній групі являє вміння педагога планувати роботу, використовувати дидактичні задачі, програмний зміст та методи навчання в співвідношенні з потребами послідовності , систематичності, поступового ускладнення матеріалу. Кожен вихователь повинен дотр ...

Економічне виховання як педагогічний вплив, спрямований на формування економічної свідомості учнів
До числа пріоритетних напрямів роботи системи професійної освіти можна віднести здійснення економічного виховання та освіти учнів, оскільки впровадження ринкової економіки спричинило виникнення та розширення в Україні такої сфери професійної діяльності як підприємництво. Це зумовлено, в першу чергу ...