Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Психологічні особливості самоактуалізації педагога-дошкільника в професійній діяльності
Творче ставлення педагогів до своєї професійної діяльності передбачає включення в педагогічну творчість, у розвиваючу педагогічну взаємодію, яка має на меті розвиток творчих здібностей дітей та педагога. Орієнтація післядипломної освіти на розвиток творчого потенціалу педагога вимагає формування у ...

Педагогічна модель формування уявлення про закон пропозиції майбутніх кваліфікованих робітників
Педагогічна модель – розумова система, що імітує чи відображає певні властивості, ознаки, характеристики об’єкта дослідження або принципи його внутрішньої організації чи функціонування та презентується у вигляді культурної форми, притаманній певній соціокультурній практиці. У загальновживаному розу ...

Рекомендації щодо розвитку уяви дошкільнят
дошкільний уява дитячий гра Уява - один із важливих психічних процесів, що безпосередньо входить у будь-який творчий процес людини на різних етапах її життя та забезпечує засвоєння різних форм людської культури в онтогенезі. Уява формується разом із допитливістю дитини ще в ранньому віці, але свого ...