Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Поняття автономії
Вимоги сьогодення та особливості сучасної системи освіти зумовлюють необхідність підготовки учнів до навчання протягом усього життя. Неабияку роль у цьому відіграє самостійна робота, яка покликана не тільки сприяти оволодінню учнями іншомовною компетенцією, а й формуванню навчальної компетенції. Як ...

Санітарно-гігієгичні норми облаштування навчальних приміщень
Положення про навчальні кабінети (далі - кабінети) розроблено відповідно до Закону України "Про загальну середню освіту" ( 651-14 ) та інших законодавчих актів України. Дія цього Положення поширюється на навчальні кабінети, що існують і створюються у загальноосвітніх навчальних закладах. ...

Аналіз Закону «Про професійно-технічну освіту в Україні»
Закон України про «Професійно-технічну освіту» вiд 10.02.1998 визначає правові, організаційні та фінансові засади функціонування і розвитку системи професійно-технічної освіти, створення умов для професійної самореалізації особистості та забезпечення потреб суспільства і держави у кваліфікованих ро ...