Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Методика проведення практичного навчання на тему: „Зрівноваження ротора молоткової дробарки та розміщення молотків на ньому”
Після вивчення теоретичного матеріалу з теми „Молоткові дробарки” проводиться практичне заняття на тему „Зрівноваження ротора молоткової дробарки та розміщення молотків на ньому”. Головною метою заняття є з’ясування значення та порядок балансування ротора дробарки; вивчити вимоги до розміщення моло ...

Особливості розвитку комунікативних умінь і навичок у молодших школярів
Людське „Я", внутрішній зміст особистості виникає і формується не само по собі, а тільки в процесі спілкування з тими, хто оточує, де складаються певні особистісні взаємовідносини. І від того, який характер відносин дитини з тими, хто оточує, багато в чому залежить, які саме особистісні якості ...

Патогенні мікроорганізми і здоров`я людини
Питання про природу інфекційних захворювань людини здавна цікавило багатьох дослідників. Завдяки відкриттям Л.Пастера, обґрунтуванню значення хвороботворних мікроорганізмів у виникненні різних хвороб, ідентифікації їх (тріада Генле—Коха) вдалося правильно підійти до розкриття суті цієї надзвичайно ...