Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис.3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

,

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо

(серія коренів ).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло ( рис. 3.14).

Рис.3.14. До рівняння

Оскільки - це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння - це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Актуально про педагогіку:

Логічна будова шкільного курсу геометрії
Загальноосвітній курс геометрії забезпечує базову геометричну підготовку достатню для продовження освіти в старшій або професійній школі. Виділяються три ступені вивчення геометрії: 1- 4, 5- 6, 7- 9. В 1- 4 класах здійснюється пропедевтична підготовка учнів до вивчення цього курсу. 5- 6 класи. Осно ...

Роль традицій і звичаїв у національному вихованні
Актуальність створення системи національного виховання в умовах України визначається потребами суспільства у всебічній активізації інтелектуального і духовно-творчого потенціалу національних та загальнолюдських цінностей, суперечливими процесами включення особистості в соціальне життя, необхідністю ...

Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів
Приклад 1. Обчислити без допомоги калькулятора Розв’язання. Помножимо і поділимо початковий вираз на .Тоді маємо Відповідь: Приклад 2 .Обчислити без допомоги калькулятора Розв’язання. Помножимо і поділимо початковий вираз на Дістаємо Відповідь: Приклад 3. Перетворити у добуток Розв’язання. У чисель ...